• 利用单期二叉树模型对无红利股票的欧式看涨与看跌期权进行定价
• 无套利分析原理：
  • 定义并计算期权的 Delta ($\mathrm{\Delta }$)
• 风险中性定价：
  • 定义并计算风险中性概率
  • 比较真实世界（实际）概率与风险中性概率
• 从观测到的市场数据中计算二叉树模型参数
• 模型拓展应用：
  • 多期二叉树模型
  • 美式期权定价
  • 调整二叉树模型以处理连续红利收益率

• Use the one-period binomial model to price European call and put options on a non-dividend paying stock
• No-arbitrage arguments:
  • Define and compute delta of an option
• Risk-neutral valuation:
  • Define and compute risk-neutral probabilities
  • Compare real-world (actual) and risk-neutral probabilities
• Compute the parameters of a binomial model from observed market data
• Extensions:
  • Multi-period binomial trees
  • Pricing of American options
  • Adjust the binomial model to cater for dividend yield

• 考虑由以下资产构成的投资组合：
  • 买入 $\mathrm{\Delta }$ 股股票，以及
  • 卖出 1 份看涨期权空头
• 到期时投资组合的价值为 $(\mathrm{\Delta }\times S_T)-f_T$（$S_T$ 为股票在到期日 $T$ 的价格，$f_T$ 为期权在到期日 $T$ 的回报）：
  • 若股票上涨，组合价值为 $(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}120)-\mathrm{\$}20$
  • 若股票下跌，组合价值为 $(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}80)-\mathrm{\$}0$
• 当两种状态下的到期支付完全相等时，该投资组合即为无风险组合：
  $$(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}120)-\mathrm{\$}20=(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}80)-\mathrm{\$}0$$
  由此可解得：
  $$\mathrm{\Delta }=\frac{\mathrm{\$}20-\mathrm{\$}0}{\mathrm{\$}120-\mathrm{\$}80}=\frac{20}{40}=0.5$$
• $\mathrm{\Delta }$ 代表期权价格变动与股票价格变动的比率（对冲比率）。

• Consider a portfolio consisting of:
  • a long position in $\mathrm{\Delta }$ units of the asset, and
  • a short position in 1 call option
• The portfolio value at maturity is $(\mathrm{\Delta }\times S_T)-f_T$ (where $S_T$ is the stock price and $f_T$ the option payoff at maturity $T$):
  • If the stock rises: $(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}120)-\mathrm{\$}20$
  • If the stock falls: $(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}80)-\mathrm{\$}0$
• The portfolio is riskless when the two state payoffs are equal:
  $$(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}120)-\mathrm{\$}20=(\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\$}80)-\mathrm{\$}0$$
  which gives:
  $$\mathrm{\Delta }=\frac{\mathrm{\$}20-\mathrm{\$}0}{\mathrm{\$}120-\mathrm{\$}80}=\frac{20}{40}=0.5$$
• $\mathrm{\Delta }$ is the change in the option price over the change in the stock price (the hedge ratio).

• 现在代入 $\mathrm{\Delta }=0.5$ 计算投资组合的到期价值：
  • 若股票上涨，价值为 $(0.5\times \mathrm{\$}120)-\mathrm{\$}20=\mathrm{\$}60-\mathrm{\$}20=\mathrm{\$}40$
  • 若股票下跌，价值为 $(0.5\times \mathrm{\$}80)-\mathrm{\$}0=\mathrm{\$}40$
• 两种状态下结果完全一样，该投资组合是完全无风险的。由于利率为 0（$e^{-rT}=e^0=1$），现值无需折现：
  $$\mathrm{\$}40e^{-0\times 1}=\mathrm{\$}40$$
• 投资组合的期初价值为：
  $$(\mathrm{\Delta }\times S_0)-f_0=\mathrm{\$}40$$
  由此推导得出：
  $$f_0=(0.5\times \mathrm{\$}100)-\mathrm{\$}40=\mathrm{\$}50-\mathrm{\$}40=\mathrm{\$}10$$

• Substituting $\mathrm{\Delta }=0.5$, the terminal portfolio value is:
  • If the stock rises: $(0.5\times \mathrm{\$}120)-\mathrm{\$}20=\mathrm{\$}60-\mathrm{\$}20=\mathrm{\$}40$
  • If the stock falls: $(0.5\times \mathrm{\$}80)-\mathrm{\$}0=\mathrm{\$}40$
• Identical in both states — the portfolio is completely risk-free. With rate 0 ($e^{-rT}=e^0=1$) there is no discounting:
  $$\mathrm{\$}40e^{-0\times 1}=\mathrm{\$}40$$
• The initial portfolio value is:
  $$(\mathrm{\Delta }\times S_0)-f_0=\mathrm{\$}40$$
  from which it follows that:
  $$f_0=(0.5\times \mathrm{\$}100)-\mathrm{\$}40=\mathrm{\$}50-\mathrm{\$}40=\mathrm{\$}10$$

• 构建如下投资组合：
  • 买入 $\mathrm{\Delta }$ 股股票，以及
  • 卖出 1 份衍生期权空头
• 到期时投资组合的价值为 $u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u$ 或 $d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d$。
• 当投资组合满足以下条件时实现完全无风险：
  $$u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u=d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d$$
  由此可推导解得：
  $$\mathrm{\Delta }=\frac{f_u-f_d}{u{S}_0-d{S}_0}=\frac{f_u-f_d}{S_u-S_d}$$

• Consider the portfolio consisting of:
  • a long position in $\mathrm{\Delta }$ units of the asset, AND
  • a short position in one option
• The value of the portfolio at maturity is $u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u$ or $d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d$.
• The portfolio is riskless when:
  $$u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u=d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d$$
  from which it follows that:
  $$\mathrm{\Delta }=\frac{f_u-f_d}{u{S}_0-d{S}_0}=\frac{f_u-f_d}{S_u-S_d}$$

• 投资组合的到期终值为 $u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u=d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d$。
• 投资组合的初始价值：
  • 由于最终组合价值与市场涨跌方向完全无关，该组合是无风险的，因此： $$(u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u)e^{-rT}=(d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d)e^{-rT}$$
  • 今日构建该投资组合的成本为：$\mathrm{\Delta }{S}_0-f_0$
• 将上述两种表达式联立等置：
  $$f_0=\mathrm{\Delta }{S}_0-(u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u)e^{-rT}=\mathrm{\Delta }{S}_0-(d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d)e^{-rT}$$
• 代入 $\mathrm{\Delta }$ 的表达式并进行代数化简可得：
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]\text{其中}p=\frac{e^{rT}-d}{u-d}$$
  这里 $p$ 表示股价上涨的风险中性概率（第 5 讲中 $p$ 曾表示看跌期权价格，此处含义不同）。

• The terminal value of the portfolio is $u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u=d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d$.
• The initial value of the portfolio:
  • Since the final portfolio value is independent of the market direction, the portfolio is risk-free, thus: $$(u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u)e^{-rT}=(d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d)e^{-rT}$$
  • The cost to set up the portfolio today is: $\mathrm{\Delta }{S}_0-f_0$
• Thus by equating these two representations:
  $$f_0=\mathrm{\Delta }{S}_0-(u{S}_0\mathrm{\Delta }-f_u)e^{-rT}=\mathrm{\Delta }{S}_0-(d{S}_0\mathrm{\Delta }-f_d)e^{-rT}$$
• By substituting $\mathrm{\Delta }$ and simplifying algebraically:
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]\text{with}p=\frac{e^{rT}-d}{u-d}$$
  Here $p$ is the risk-neutral probability of an up move (in Lecture 5 $p$ was the put price; this is a new meaning).

• 股票上涨的“风险中性”概率 $p$ 满足（$E[\cdot ]$ 表示在风险中性概率下的期望值）：
  $$E[S_T]=S_0{e}^{rT}⟹S_0=e^{-rT}E[S_T]=e^{-rT}[p{S}_u+(1-p)S_d]$$
• 真实世界（实际）中股票上涨的概率 $p_a$ 与风险中性概率 $p$ 存在本质差异。
  • 若资产的实际预期收益率为 $\mu$，则（$E_a[\cdot ]$ 表示在真实世界概率 $p_a$ 下的期望值）： $$S_0=e^{-\mu T}{E}_a[S_T]=e^{-\mu T}[p_a{S}_u+(1-p_a)S_d]$$

• The “risk-neutral” probability $p$ of an up movement satisfies ($E[\cdot ]$ is the expected value under the risk-neutral probabilities):
  $$E[S_T]=S_0{e}^{rT}⟹S_0=e^{-rT}E[S_T]=e^{-rT}[p{S}_u+(1-p)S_d]$$
• The real-world (actual) probability $p_a$ of stock going up is different to the risk-neutral probability $p$.
  • When $\mu$ is the expected return on the asset, then ($E_a[\cdot ]$ is the expected value under the actual real-world probabilities $p_a$): $$S_0=e^{-\mu T}{E}_a[S_T]=e^{-\mu T}[p_a{S}_u+(1-p_a)S_d]$$

• 由方程 (1) 代入已知数据 $S_0=100,S_u=120,S_d=80,r=0,T=1$（注意 $e^0=1$）：
  $$\mathrm{\$}120p+\mathrm{\$}80(1-p)=\mathrm{\$}100$$ $$p=\frac{\mathrm{\$}100-\mathrm{\$}80}{\mathrm{\$}120-\mathrm{\$}80}=\frac{20}{40}=0.5$$
• 由方程 (2) 可得期权价值（$f_u=\mathrm{\$}20,f_d=\mathrm{\$}0$）：
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]$$ $$=e^0[(0.5\times \mathrm{\$}20)+(0.5\times \mathrm{\$}0)]=\mathrm{\$}10+\mathrm{\$}0=\mathrm{\$}10$$

• Substituting $S_0=100,S_u=120,S_d=80,r=0,T=1$ into equation (1) (note $e^0=1$):
  $$\mathrm{\$}120p+\mathrm{\$}80(1-p)=\mathrm{\$}100$$ $$p=\frac{\mathrm{\$}100-\mathrm{\$}80}{\mathrm{\$}120-\mathrm{\$}80}=\frac{20}{40}=0.5$$
• Equation (2) gives the option value ($f_u=\mathrm{\$}20,f_d=\mathrm{\$}0$):
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]$$ $$=e^0[(0.5\times \mathrm{\$}20)+(0.5\times \mathrm{\$}0)]=\mathrm{\$}10+\mathrm{\$}0=\mathrm{\$}10$$

• 在“风险中性”世界中，资产的初始价值等于其到期预期回报按无风险利率 $r$ 折现的现值：
  $$E[S_T]=S_0{e}^{rT}⟹p{S}_u+(1-p)S_d=S_0{e}^{rT}(3)$$ $$E[f_T]=f_0{e}^{rT}⟹p{f}_u+(1-p)f_d=f_0{e}^{rT}(4)$$
• 从方程 (3) 中解出 $p$：
  $$pu{S}_0+(1-p)d{S}_0=S_0{e}^{rT}⟹p=\frac{e^{rT}-d}{u-d}$$
• 从方程 (4) 导出通用期权定价公式：
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]$$

• In a “risk-neutral” world, the initial value of an asset is equal to its discounted expected payoff at maturity, discounted at $r$:
  $$E[S_T]=S_0{e}^{rT}⟹p{S}_u+(1-p)S_d=S_0{e}^{rT}(3)$$ $$E[f_T]=f_0{e}^{rT}⟹p{f}_u+(1-p)f_d=f_0{e}^{rT}(4)$$
• From (3) we solve for $p$:
  $$pu{S}_0+(1-p)d{S}_0=S_0{e}^{rT}⟹p=\frac{e^{rT}-d}{u-d}$$
• From (4) the general pricing formula is:
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]$$

设定： $S_0=\mathrm{\$}100$，一年后（$T=1$）$S_u=\mathrm{\$}120$，$S_d=\mathrm{\$}80$。利率 $r=0$。求 $K=\mathrm{\$}100$ 看跌期权今天的价格 $p_0$（$p_0$ 是期权价格，不是概率 $p$）。

Setup: $S_0=\mathrm{\$}100$; in one year ($T=1$), $S_u=\mathrm{\$}120$, $S_d=\mathrm{\$}80$. Interest rate $r=0$. Value the $K=\mathrm{\$}100$ put option, whose price today is $p_0$ (an option price, not the probability $p$).

• 在实务中，通常采用 Cox, Ross and Rubinstein (1979) 的方法，根据资产价格波动率 $\sigma$ 来校准确定 $u$ 与 $d$。对于极小时间步长 $\mathrm{\Delta }t$：
  $$u=e^{\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}$$ $$d=\frac{1}{u}=e^{-\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}$$
• 示例：取 $\sigma =20\mathrm{\%}$，把 1 年分成两期，每期 $\mathrm{\Delta }t=0.5$ 年：
  $$u=e^{\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}=e^{0.2\sqrt{0.5}}=e^{0.1414}=1.1519$$ $$d=\frac{1}{u}=\frac{1}{1.1519}=0.8681$$
• 下面的两期二叉树就用这组 $u,d$。前面单期例子里的 $120 / $80 是为了计算简单而直接给定的涨跌（±20%，相当于 $\sigma =20\mathrm{\%}$），并非由 CRR 公式算出。

• In practice, $u$ and $d$ are usually calibrated from the asset price volatility $\sigma$ using the Cox, Ross and Rubinstein (1979) approach. For a small time step $\mathrm{\Delta }t$:
  $$u=e^{\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}$$ $$d=\frac{1}{u}=e^{-\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}$$
• Example: take $\sigma =20\mathrm{\%}$ and split the year into two steps of $\mathrm{\Delta }t=0.5$ year:
  $$u=e^{\sigma \sqrt{\mathrm{\Delta }t}}=e^{0.2\sqrt{0.5}}=e^{0.1414}=1.1519$$ $$d=\frac{1}{u}=\frac{1}{1.1519}=0.8681$$
• The two-step tree on the next pages uses this $u,d$. The $120 / $80 in the one-step examples were given moves (±20%, i.e. $\sigma =20\mathrm{\%}$), not computed from the CRR formula.

每期贴现因子 $e^{-0.05\times 0.5}=0.9753$。课本原题由 $\sigma =22.9\mathrm{\%}$ 校准 $u,d$，完整解答见《Hull 习题与解答》第 7 讲。

Per-step discount factor $e^{-0.05\times 0.5}=0.9753$. The textbook original calibrates $u,d$ from $\sigma =22.9\mathrm{\%}$. Original Hull problem with full solution: see Hull Exercises & Solutions, Lecture 7.

对执行价格 $K=\mathrm{\$}100$、到期时间 $T=1$ 年的看涨期权进行定价（下面的 $f_u$、$f_d$ 是半年末上涨、下跌节点处的期权价值，不再是到期回报）：

一年期欧式看涨期权的价格为 $9.54。

Price a call option with strike $K=\mathrm{\$}100$ and maturity $T=1$ year (below, $f_u$ and $f_d$ are the option values at the up and down nodes after six months, no longer terminal payoffs):

The price of the one-year European call option is $9.54.

对执行价格 $K=\mathrm{\$}100$、到期时间 $T=1$ 年的看跌期权进行定价：

一年期欧式看跌期权的价格为 $4.66。

Price a put option with strike $K=\mathrm{\$}100$ and maturity $T=1$ year:

The price of the one-year European put option is $4.66.

对执行价格 $K=\mathrm{\$}100$、到期时间 $T=1$ 年的美式看跌期权进行定价：

• 在每个节点检验提前行权是否为最优决策，即将对应的欧式期权价值（继续持有价值）与内在价值 $max[K-S_t,0]$（$S_t$ 为该节点的股票价格）进行比较：

• 在节点 $d$（该节点股价 $S=\mathrm{\$}86.81$）处，提前行权为最优决策！立即行权拿到 $\mathrm{\$}13.19>\mathrm{\$}10.72$（继续持有的价值）。
• 美式看跌期权价格为 $5.74，高于对应的欧式看跌期权价格 $4.66，提前行权溢价为 $5.74-4.66=\mathrm{\$}1.08$。

• American put, $K=\mathrm{\$}100$, $T=1$ year. At each node compare the continuation value with the intrinsic value $max[K-S_t,0]$ ($S_t$ is the stock price at that node):

• At node $d$ (stock price $S=\mathrm{\$}86.81$ there) early exercise is optimal! Exercising now gives $\mathrm{\$}13.19>\mathrm{\$}10.72$ (continuation value).
• The American put is worth $5.74, more than the corresponding European put at $4.66; the early-exercise premium is $5.74-4.66=\mathrm{\$}1.08$.

设定：与前几页完全相同的两期树：$S_0=\mathrm{\$}100$，$u=1.1519$，$d=0.8681$，$r=5\mathrm{\%}$，$\mathrm{\Delta }t=0.5$。
$p=0.5539$，$1-p=0.4461$，每期贴现因子 $e^{-0.025}=0.9753$。
现在只换一个更深的行权价：看跌期权 $K=\mathrm{\$}110$。

Setup: exactly the same two-step tree as the previous pages: $S_0=\mathrm{\$}100$, $u=1.1519$, $d=0.8681$, $r=5\mathrm{\%}$, $\mathrm{\Delta }t=0.5$.
$p=0.5539$, $1-p=0.4461$, per-step discount factor $e^{-0.025}=0.9753$.
Now change only one thing — a higher strike: a put option with $K=\mathrm{\$}110$.

• 在“风险中性”世界中，支付连续复利红利收益率 $q$ 的股票预期收益率为 $r-q$。因此：
  $$E[S_T]=S_0{e}^{(r-q)T}⟹p{S}_u+(1-p)S_d=S_0{e}^{(r-q)T}(5)$$ $$E[f_T]=f_0{e}^{rT}⟹p{f}_u+(1-p)f_d=f_0{e}^{rT}(6)$$
• 由方程 (5) 可推导出：
  $$pu{S}_0+(1-p)d{S}_0=S_0{e}^{(r-q)T}⟹p=\frac{e^{(r-q)T}-d}{u-d}$$
• 由方程 (6) 将预期到期回报按无风险利率 $r$ 折现：
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]$$

• In a “risk-neutral” world, the expected return on a stock paying a continuously compounded dividend yield $q$ is $r-q$. Thus:
  $$E[S_T]=S_0{e}^{(r-q)T}⟹p{S}_u+(1-p)S_d=S_0{e}^{(r-q)T}(5)$$ $$E[f_T]=f_0{e}^{rT}⟹p{f}_u+(1-p)f_d=f_0{e}^{rT}(6)$$
• From (5) we have that:
  $$pu{S}_0+(1-p)d{S}_0=S_0{e}^{(r-q)T}⟹p=\frac{e^{(r-q)T}-d}{u-d}$$
• From (6) we discount the expected payoff at $r$:
  $$f_0=e^{-rT}[p{f}_u+(1-p)f_d]$$